Bài toán căn bậc 3 thường gặp

$\sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{x-16}= \sqrt[3]{x-8}$  (1) 

Với bài này, hướng đi là chúng ta sẽ lập phương cả 2 vế để đưa về phương trình bậc 3

Công thức cần nhớ: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b+3ab^2+ b^3 = a^3 + 3ab(a+b) + b^3$

Giờ chúng ta sẽ đi vào giải bài toán:

$(1) \Leftrightarrow (\sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{x-16})^3=x-8$

$\Leftrightarrow x+(x-16)+3\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x-16} \sqrt[3]{x-8}=x-8$

$\Leftrightarrow 3\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x-16} \sqrt[3]{x-8} = -x+8$ 

Lập phương cả 2 vế, quá trình này không làm xuất hiện nghiệm ngoại lai

$\Leftrightarrow 27x(x-16)(x-8)=(-x+8)^3$

$\Leftrightarrow 27x(x-16)(x-8)=-(x-8)^3$

$\Leftrightarrow 27x(x-16)(x-8)+(x-8)^3=0$

$\Leftrightarrow (x-8)[27x(x-16)+(x-8)^2]=0$

Rút gọn lại ta có: $(x-8)(28x^2-448x+64)=0$

$\Leftrightarrow 4(x-8)(7x^2-112x+16)=0$

Giờ chỉ việc giải phương trình bậc 2. 

Vậy phương trình có tổng cộng 3 nghiệm: $x=8, x= 8 \pm  \frac{12 }{7} \sqrt{21}$